如何证明主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵

题目

如何证明主子式大于等于零的矩阵是半正定矩阵
如题

答案

必须有对称性,否则命题不成立
对于满足条件的n阶Hermite阵A,以及任何t>0,先验证A+tI所有主子式都大于零,于是A+tI是正定阵,让t->0+即得结论,所以关键就是验证A+tI的主子式大于零.
A+tI的低阶主子式都可以用归纳法解决,唯有n阶主子式,即det(A+tI)本身需要另外验证
将det(A+tI)展开成det(A+tI)=t^n+b_1*t^{n-1}+...+b_{n-1}t+b_n,
其中b_k是A的所有k阶主子式的和,由条件立即得到t>0时det(A+tI)>0