△ABC中,AD是角平分线,AD=BD,AD=BD,AB=2AC求证△ACB是直角三角形

题目

△ABC中,AD是角平分线,AD=BD,AD=BD,AB=2AC求证△ACB是直角三角形
过D作DE⊥AC
∵AD是角平分线
∴BD/CD=AB/AC
∵AB=2AC
∴BD=2CD
设CD=a,则BD=2a
∵AD=BD
∴AD=2a
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°,∠DAE=30°=∠BAD=∠B
∴∠C=90°,即C、D重合
∴△ACB是直角三角形
BD/CD=AB/AC

答案

1、这个比例式是利用三角形角平分线的性质列出的.定理：若AD是△ABC∠A的平分线,那么
BD/CD=AB/AC.简证如下.延长BA到C',使AC'=AC,连接CC',由等腰三角形ACC'两底角相等,都等于∠A/2,可得CC'∥DA,△BAD∽△BC'C,BA/AC'=BD/DC,就是AB/AC=BD/CD.
2、题目中引用的证明有缺陷：他说∵DE⊥AC∴∠DAE=30°不妥,因为此前他只推出CD=AD/2,并未得到DE=AD/2.
3,正确证法.∵AD=BD,取AB的中点M,连接DM,那么有DM⊥AB,AM=AB/2,
∵AB=2AC,∴AM=AC,
∵AD是∠A的平分线,可证△ADM≌△ADC（S..a.S）,
∴∠ADC=∠AMD=90°,△ACB是直角三角形.