已知f（x）=（sinx+cosx）²/2+2sin2x-cos²2x

题目

已知f（x）=（sinx+cosx）²/2+2sin2x-cos²2x
（1）求f（x）的定义域、值域.（2）若f（x)=2,-π/4＜x＜3π/4,求x的值

答案

f(x)=(sinx+cosx)²/2+2sin2x-cos²2x?
分母是什么?是2吗?
f(x)=(sinx+cosx)²/2+2sin(2x)-cos²(2x)
f(x)=(sin²x+2sinxcos+cos²x)/2+sin(2x)-[1-sin²(2x)]
f(x)=(sin²x+cos²x)/2+(1/2)sin(2x)+sin(2x)-1+sin²(2x)
f(x)=1/2+(3/2)sin(2x)-1+sin²(2x)
f(x)=sin²(2x)+(3/2)sin(2x)-1/2
由正弦函数的定义,可知：所求函数的定义域为：x∈(-∞,∞)
设：u=sin(2x),显然：-1≤u≤1,代入所给函数,有：
f(u)=u²+(3/2)u-1/2
f'(u)=2u+3/2
1、令：f'(u)＞0,即：2u+3/2＞0
解得：u＞-3/4,即：-3/4＜u≤1
2、令：f'(u)＜0,即：2u+3/2＜0
解得：u＜-3/4,即：-1≤u＜-3/4
综上,有：
当u∈(-3/4,1]时,f(u)为单调增函数；
当u∈[-1,-3/4)时,f(u)为单调减函数.
u=-3/4时,f(u)取得极小值：f(-3/4)=(-3/4)²+(3/2)×(-3/4)-1/2=-17/16
另：f(-1)=(-1)²+(3/2)×(-1)-1/2=-1,f(1)=1²+(3/2)×1-1/2=2
所以：所求值域为：f(x)∈[-1,2]
已知：f(x)=2,即：f(u)=2
u²+(3/2)u-1/2=2
2u²+3u-5=0
(2u+5)(u-1)=0
解得：u1=-5/2、u2=1
因：-1≤u≤1,故舍去u=-5/2
将u=1代入前解所设,有：
sin(2x)=1
2x=2kπ+π/2,其中：k=0、±1、±2、……,下同
解得：x=kπ+π/4
因为：-π/4＜x＜3π/4,
最终解得：x=π/4.