已知函数f(x)=x3--32ax2+1(x∈R,a>1)在区间x∈[-1,1]上最小值为-2

题目

已知函数f(x)=x3--32ax2+1(x∈R,a>1)在区间x∈[-1,1]上最小值为-2
(1)求a的值以及f(x)在x∈R时的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)--mx在区间x∈[-2,2]尚未减函数,求实数m的取值范围.

答案

已知函数f(x)=x3--32ax2+1(x∈R,a>1)在区间x∈[-1,1]上最小值为-2
(1)求a的值以及f(x)在x∈R时的极值；
(2)若函数g(x)=f(x)--mx在区间x∈[-2,2]尚未减函数,求实数m的取值范围.
(1)解析：∵函数f(x)=x^3-3/2ax^2+1(x∈R,a>1)在区间x∈[-1,1]上最小值为-2
令f’(x)=3x^2-3ax=3x(x-a)==>x1=0,x2=a
f’’(x)=6x-3a==>f’’(x1)=-3a0
∴函数f(x)在x1处取极大值；在x2处取极小值；
f(-1)=-3/2a=-2==>a=4/3；f(1)=2-3/2*4/3=0
f(1)=2-3/2a=-2==>a=8/3；f(-1)=-3/2*8/3=-4
∴在区间x∈[-1,1]上最小值为-2时,a=4/3
∴f(x)=x^3-2x^2+1
∴函数f(x)在x1=0处取极大值1；在x2=4/3处取极小值-1/3；
(2)解析：∵函数g(x)=f(x)-mx在区间x∈[-2,2]上为减函数
g(x)= x^3-2x^2-mx+1
令g’(x)=3x^2-4x-m=0==>x1=(2-√(4+3m))/3,x2=(2+√(4+3m))/3
x1=(2-√(4+3m))/3m>=20
x2=(2+√(4+3m))/3>=2==>m>=4
取二者交
∴m>=20