在锐角△ABC中,已知∠B=60°.且根号(1+cos2A)(1+cos2c)=(根号3-1)/2,求∠A,∠C的值

题目

在锐角△ABC中,已知∠B=60°.且根号(1+cos2A)(1+cos2c)=(根号3-1)/2,求∠A,∠C的值

答案

A+C=180°-B=120°;即cos(A+C)=-1/2.
(1+cos2A)(1+cos2c)=(2cos^2 A)·(2cos^2 C),
则√(1+cos2A)(1+cos2c)=2·cosA·cosC.
即
cosA·cosC=(√3-1)/4.
则
cos(A+C)=cosA·cosC-sinA·sinC=(√3-1)/4-sinA·sinC=-1/2.
则sinA·sinC=(√3+1)/4.
则:
cos(A-C)=cosA·cosC+sinA·sinC=(√3-1)/4 + (√3+1)/4
=√3/2.
即|A-C|=30°.
不妨设A＞C,
则A-C=30°
与A+C=120°联立解得
A=75°;C=45°.
若A＜C,也一样;因为这里A与C是等位的.
即A=45°;C=75°