求lim x[ln(1+x)-ln x]

题目

求lim x[ln(1+x)-ln x]
x趋于正无穷大

答案

值等于1.
有两种解法：
方法1：
设y=x[ln(1+x)-ln x]；
整理的y=x[ln((1+x)/x)]；
进一步整理y=x[ln((1+x)/x)]=x[ln(1+1/x)]；
将方括号外的x代入方括号内得y=[ln(1+1/x)^x]；
由于当x趋向正无穷大时,lim(1+1/x)^x=e,
故当x趋向正无穷大时,lim[ln(1+1/x)^x]=1.
因此lim x[ln(1+x)-ln x]=1,
方法2：
设y=x[ln(1+x)-ln x]；
整理的y=x[ln((1+x)/x)]；
进一步整理y=x[ln((1+x)/x)]=x[ln(1+1/x)]；(1)
不妨设a=1/x;(2)
将(2)代入(1)可得x[ln(1+1/x)]=[ln(1+a)]/a,
因此,limx[ln(1+x)-ln x]=lim[ln(1+a)]/a,a趋向于0;
上下同时求导得lim[ln(1+a)]/a=lim1/(1+a),a趋向于0.
当a趋向于0时,解得lim1/(1+a)=1,
因此lim x[ln(1+x)-ln x]=1,