f(x),g(x)是整系数多项式,g(x)是本原,f(x)=g(x)h(x),h(x)是有理系数多项式,证明：h(x)是整系数的

题目

f(x),g(x)是整系数多项式,g(x)是本原,f(x)=g(x)h(x),h(x)是有理系数多项式,证明：h(x)是整系数的

答案

要用到多项式的高斯引理：两个本原多项式的积仍是本原多项式,（参考资料网页里有提起,证明的话网上找一下,不难）.
假设h(x)不是整系数的,那么给系数提取个公分母p>1,可以使p*h(x)是整系数,而且是本原多项式（所有系数的最大公约数是1）.
因为f(x)=g(x)*h(x),所以p*f(x)=g(x)*(p*h(x)).
g(x)和p*h(x)都是本原多项式,因此由高斯引理,乘积结果p*f(x)也应该是本原多项式.
但是因为f(x)已经是整系数多项式了,所以p*f(x)就不可能是本原多项式（因为系数的最大公约数,最起码是p>1了）,因此是矛盾的!