已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值

题目

已知函数f(x)＝4x2－4ax＋(a2－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值

答案

f(x)是开口向上的抛物线
对称轴x=a/2
(1) 当a/2≤0,即a≤0时,单增
f(x)最小=f(0)=a²-2a+2=3
a²-2a-1=0
解得a=1±√2
所以a=1-√2
(2) 当0≤a/2≤2,即0≤a≤4时
f(x)最小=f(a/2)=-2a+2=3
解得a=-1/2<0
不成立
(3) 当a/2≥2,即a≥4时,单减
f(x)最小=f(2)=16-8a+a²-2a+2=3
a²-10a+15=0
解得a=5±√10
所以a=5+√10
综上：a=1-√2或5+√10