一条有关椭圆的高中数学题,赶.

题目

一条有关椭圆的高中数学题,赶.
从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是

答案

此题很有难度,
关键有两点：
1、如何能截出最大矩形.（长宽与坐标轴平行）
2、是什么因素导致最大值发生变化.（是a的变化所致,要把a看做面积的变量）
设椭圆方程是x^2／a^2+y^2／b^2=1,长所在直线方程为 y=k ,
联立则得x=±a／b×√（b^2-k^2),
则矩形面积为S=（X1-X2）*2k=4ak／b×√（b^2-k^2),
化简为S=4ab×k／b×√[1-(k／b)^2],观察此式,用换元法求最值,
令k／b=sinθ,则上式化为S=4ab×sinθ×cosθ=2absin2θ,
当θ=π／4时 即k／b=√2／2时,取得最大值S=2ab
由已知,3b^2 ≤S≤4b^2 得 1.5b≤a≤2b,所以 √5／3≤e≤√3／2