在数列an 中,a1=2,a2=2-lg（根号2）,且a（n+2）-2a（n+1）+an=0,求n使sn有最大值,并求此最大值,

题目

在数列an 中,a1=2,a2=2-lg（根号2）,且a（n+2）-2a（n+1）+an=0,求n使sn有最大值,并求此最大值,

答案

a(n＋2)－2a(n＋1)＋an=0即为2a(n＋1)=an＋a(n＋2),所以数列{an}是等差数列(等差中项判断法).首项是a1=2,第二项是a2=2－lg(√2),从而公差d=a2－a2=－lg(√2).要求前n项的和的最大值,由于此数列开始时都是正的,那只要求出第一个负项即可.an=a1＋(n－1)d=2－(n－1)lg(√2)=lg(100)－lg[(√2)^(n－1)]<0,解得n≥15,即这个数列的第15项是第一个负数项.从而Sn的最大值是S14=28－91lg(√2).