已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>o时,f(x)>1

题目

已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>o时,f(x)>1
已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>o时,f(x)>1
1） 求证 对于x∈R,f(x)>0恒成立
2）证 y=f(x)在R上为增函数
3）若对于x∈R,f(2^x)*f(m*2^2x-(m+1)*2^x+2)>1恒成立,求实数m取值范围

答案

2.在R上任取两数
x1,x2满足x2＞x1,则可设x2=x1+k(k＞0)
则有
f(x2)=f(x1+k)
由条件式,
f(x2)=f(x1+k)
=f(x1)f(k)
而由题目x＞0,f(x)＞1
知f(k)＞1
故f(x2)=f(x1)f(k)＞1*f(x1)=f(x1)
对任意的x2＞x1,f(x2)＞f(x1)成立,故f(x)在R上是增函数.
3.f(2^x)f(m*2^2x-(m+1)*2^x+2)=f(m*2^2x-m*2^x+2)＞1恒成立,
须找出f(?)=1
而在条件式
f(x+y)=f(x)f(y)中,
取y=0即得f(0)=1,
由f(x)在R上是增函数,有
m*2^2x-m*2^x+2＞0恒成立,
取2^x=k(k＞0)
则有mk^2-mk+2＞0恒成立于k＞0
当m=0不等式成立
当m≠0,这是关于k的二次函数,且f(0)＞0
画图,知△小于0且m＞0即可,得
m^2-8m＞0
→m＞8
综上所述,m∈(8,+∞)