a,b,c∈(x,+∞)且a+b+c=1,求证:(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=8

题目

a,b,c∈(x,+∞)且a+b+c=1,求证:(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=8
a,b,c∈(x,+∞)且a+b+c=1,求证:(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=8
注意括号中是两项：1除以a再减去1,其余类似,三个乘起来.

答案

∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8