设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式.

题目

设函数f(x)在区间【-a,a】上有定义,证明：f(x)可表示成偶函数与奇函数和的形式.
不好意思，我想具体了解一下为什么(f(x)+f(-x))是偶函数，另一个（f(x)-f（-x))是奇函数，

答案

首先给出偶函数和奇函数的定义：
1.函数M(x)的定义域为D1,对任意的x属于D1,都有M(-x)=M(x),则称M(x)是偶函数；
2.函数N(x)的定义域为D2,对任意的x属于D2,都有N(-x)=-N(x),则称N(x)是偶函数.
下面回答上述问题：
f(x)=[f(x)+ f(-x)]/2+ [f(x)- f(-x)]/2
令
g(x)=[f(x)+ f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
于是,g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2 = g(x)
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2 = -[f(x)-f(-x)]/2 = -h(x)
由奇函数和偶函数的定义可知,g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.
原命题得证!