关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R), (1)若此方程有实数解,求a的值; (2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.

关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R), (1)若此方程有实数解,求a的值; (2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.

题目
关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R),
(1)若此方程有实数解,求a的值;
(2)用反证法证明:对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.
答案
(1)若此方程有实数解,设z=m∈R,代入方程可得 m2-(a+i)m-(i+2)=0,
即m2-am-2+(-m-1)i=0,∴m2-am-2=0,且-m-1=0,
∴m=-1,a=1.
(2)假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有 (ni)2-(a+i)ni-(a+2)i=0,
整理可得-n2+n-2+(-an-1)i=0,∴
−n2 +n −2 = 0   ①
−an−1 = 0    ②

∴对于①,判别式△<0,方程①无解,故方程组无解无解,故假设不成立,
故原方程不可能有纯虚根.
(1)若此方程有实数解,设z=m∈R,代入方程利用两个复数相等的充要条件,解方程求得a的值.
(2)假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,整理可得-n2+n-2+(-an-1)i=0,利用两个复数相等的充要条件
可得
−n2 +n −2 = 0   ①
−an−1 = 0    ②
,由于①的判别式△<0,方程①无解,故方程组无解无解,从而得到结论.

反证法与放缩法.

本题考查两个复数相等的充要条件,用反证法证明数学命题,推出矛盾,是解题的关键和难点.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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