已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4更号10

题目

已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4更号10
1.求直线CD的方程
2.求圆P的方程
3.设点Q在圆P上,试问使三角形QAB的面积等于8的点Q共有几个?证明你的结论

答案

1）因为直线CD是线段AB的垂直平分线,且直线AB的斜率为1,所以直线CD的斜率为—1,
线段AB的中点在直线CD上,中点坐标为（1,2）,所以直线CD的方程为x+y-3=0
2）由题意可知圆心在直线CD上,所以半径为2根10,
直线AB和CD的交点坐标为（3-1）/2=1,(4+0)/2=2,即交点坐标为（1,2）,
且AB的直线方程为x-y+1=0,所以直线CD的斜率为-1,由点斜式得直线CD的方程为x+y-3=0,所以可设圆心坐标为（x,-x+3),由圆心到直线AB的距离和弦AB的一半和半径组成一个直角三角形,可解出圆心坐标.
所以圆P的方程为（x+3)^2+(y-6)^2=40.
(3):上题中已求出AB的直线方程为x-y+1=0,AB的长度为4根2,设Q（x0,y0),点Q到直线AB的距离为h,
因为△QAB的面积为8,所以4根2*0.5*h=8,解得h=2根2,
所以点Q到直线AB的距离为｜x0-y0+1｜/根2=2根2,
解得x0-y0=3或x0-y0=-5,所以符合题意的点Q共有2个.