线代实对称矩阵特征向量正交的问题,

题目

线代实对称矩阵特征向量正交的问题,
假设一个三阶实对称矩阵,有三个特征值3,3,1,又已知对应特征值为1 的特征向量(1,1,2),这个时候求特征值为3的特征向量可以直接利用正交的性质列出方程x1
+x2+2x3=0求得的基础解系就是对应特征值为3的特征向量.那么,如果三个特征值不相同,比如为3,5,1,这个时候再按照这种方法来列方程得到的基础解系是什么呢?不太明白,还希望大侠们可以具体解释下啊,我糊涂死了,今天做到一个题做了N遍都没做对
还有一个关于二次型的问题,李永乐的线代辅导上有个题,具体我就不写了,有一个不明白的地方是,将一个二次型化为标准型之后是f=5y2^2+6y3^2,给出条件是x^Tx=2的时候,要求f的极大值,参考答案给出的是x^Tx=y^Ty=2,所以x^TAx=5y2^2+6y3^2

答案

假设一个三阶实对称矩阵,有三个特征值3,3,1,又已知对应特征值为1 的特征向量(1,1,2),这个时候求特征值为3的特征向量可以直接利用正交的性质列出方程x1+x2+2x3=0求得的基础解系就是对应特征值为3的特征向量.那么,如果三个特征值不相同,比如为3,5,1,这个时候再按照这种方法来列方程得到的基础解系是什么呢?
实对称矩阵有性质.①不同特征值的特征向量互相正交.②每个特征值的代数重
数与几何重数是相等的.
从②特征值1的特征子空间V是一维的.特征值3的特征子空间U是二维的.
从① R³＝V×U（直积）,即U是V的正交补,V是已知的,正交补是唯一的,所
以,你用那个方法求出的两个向量,是V的正交补基底.从而也是U的基底.
至于特征值是3,5,1.那么只知道1的特征向量就不够了.因为按照原来的方法只
能得到1的特征子空间V的正交补,是3的特征子空间U与5的特征子空间W的直积.
不能确定U与W.所以,这种情况,必须知道两个特征值的特征向量,才能够确定
第三个特征值的特征向量.（方法还是齐次方程组求解,不过这次是两个方程,
而基础解系只有一个向量.）
[另外一道题.请你另外提问.特别是要把题目交代清楚,别人才好帮你.]