数论难题

题目

数论难题
试证明,m.n.p为已知正整数常数,使mk+p=qn.mk+p=qn+1……直到mk+p=qn+n都有正整数解k.q,使等式成立的充要条件是m.n互素

答案

mk+p=qn,mk+p=qn+1,……,mk+p=qn+n都有正整数解k,q
qn-mk=p,qn-mk=p-1,……,qn-mk=p-n都有整数解k,q (有正整数解和有整数解等价)
(m,n)|p, (m,n)|(p-1), ……, (m,n)|(p-n)
(m,n)|(p,p-1,...,p-n)
无论p是否等于1,上式均等价于
(m,n)=1
即m、n互素
因此等式成立的充要条件是m、n互素