如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论: ①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=34CG2;③若
题目
如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△AED≌△DFB;②S
四边形BCDG=
CG
2;③若AF=2DF,则BG=6GF.
其中正确的结论( )
A. 只有①②
B. 只有①③
C. 只有②③
D. ①②③
答案
①∵ABCD为菱形,∴AB=AD.
∵AB=BD,∴△ABD为等边三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB;
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,
即∠BGD+∠BCD=180°,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.
∴∠BGC=∠DGC=60°.
过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.
∴CM=CN,
∵
,
∴△CBM≌△CDN,(HL)
∴S
四边形BCDG=S
四边形CMGN.
S
四边形CMGN=2S
△CMG,
∵∠CGM=60°,
∴GM=
CG,CM=
CG,
∴S
四边形CMGN=2S
△CMG=2×
×
CG×
CG=
CG
2.
③过点F作FP∥AE于P点.
∵AF=2FD,
∴FP:AE=DF:DA=1:3,
∵AE=DF,AB=AD,
∴BE=2AE,
∴FP:BE=1:6=FG:BG,
即 BG=6GF.
故选D.
①易证△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;
②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°.过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG=S四边形CMGN,易求后者的面积.
③过点F作FP∥AE于P点.
根据题意有FP:AE=DF:DA=1:3,则FP:BE=1:6=FG:BG,即BG=6GF.
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