微分方程 可分离变量方程两边同时对不同积分变量的原理是不是微分形式不变形在积分中的对应的应用啊?
题目
微分方程 可分离变量方程两边同时对不同积分变量的原理是不是微分形式不变形在积分中的对应的应用啊?
答案
可以这样认为,可分离变量的方程其实就是全微分方程.
比如f(x)dx=g(y)dy,那么
d(F(x)-G(y))=0,
其中F和G分别是f和g的原函数,
从而F(x)-G(y)=C.
这里并不需要考虑哪个变量是自变量,哪个变量是中间变量,利用的就是一阶微分形式的不变性.事实上这里的F(x)-G(y)显然是一个中间变量.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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