过抛物线C:x^2=4y的焦点F作直线L,交C于A,B两点.若F恰好为线段AB的三等分点,则直线L的斜率K=?

题目

过抛物线C:x^2=4y的焦点F作直线L,交C于A,B两点.若F恰好为线段AB的三等分点,则直线L的斜率K=?

答案

抛物线x²=4y
∴ 焦点F（0,1）
设A（x1,y1),B(x2,y2)
则 x1+2x2=0 ①
直线斜率为k
则直线方程为y=kx+1
代入 x²=4y
∴ x²=4kx+4
即 x²-4kx-4=0
∴ x1+x2=4k ②
x1*x2=-4 ③
由①②
∴ x2=-4k, x1=8k
代入③
∴ -32k²=-4
∴ k²=1/8
∴ k=√2/4或k=-√2/4