直线x-2y-2=0,过抛物线x=2y^2,交A,B两点,且焦点为F,求△ABF的面积

题目

直线x-2y-2=0,过抛物线x=2y^2,交A,B两点,且焦点为F,求△ABF的面积

答案

方法1：假设直线与x轴交于C（2,0）,方法可以是将三角形FCA与三角形FCB面积相加,把FC当底边,这样面积为1/2*FC*(A的纵坐标减去B的纵坐标的差的绝对值）,将直线与抛物线两方程联列,消去x得关于y的方程,用韦达定理得y1+y2及y1*y2代入即可求得
方法2：将直线与抛物线方程联列,消去x得：y^2-y-1=0,设A、B的纵坐标分别为y1、y2
则y1+y2=1,y1*y2=-1,由弦长公式得AB=根号[1+1/(k^2)]*(y1-y2)的绝对值,这里k是直线斜率=1/2
所以AB=根号5*根号[(y1+y2)^2-4y1*y2]=根号5*根号（1^2+4）=根号5*根号5=5
再求点F（1/8,0）到直线AB的距离为3*根号5/8
所以面积为1/2*5*3*根号5/8=15根号5/16