设A是秩为3的5*4矩阵,a1,a2,a3是非齐次线性方程组AX=B有三个不同的解,若(a1)+(a2)+2(a3)=(2,0,0,0,0)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组AX=B

题目

设A是秩为3的5*4矩阵,a1,a2,a3是非齐次线性方程组AX=B有三个不同的解,若(a1)+(a2)+2(a3)=(2,0,0,0,0)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组AX=B的通解是?
因为r(A)=3,所以AX=0的基础解系含 4-r(A)=1个解向量
所以 (3a1+a2)-(a1+a2+2a3)=(0,4,6,8)^T≠0 是AX=0的基础解系
(1/4)(a1+a2+2a3)=(1/2,0,0,0)^T 是AX=B的特解
所以方程组AX=B的通解是 (1/2,0,0,0)^T + c(0,4,6,8)^T.
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为什么这个特解这么复杂,而不是从a1,a2,a3中随便取一个?
明天考试,急,

答案

这和已知给出的条件有关：,3a1+a2是AX=4B的解,(a1)+(a2)+2(a3)=也是,AX=4B
他们的差,是AX=0的非零解.因为r(A)=3,这个非零解就是AX=0的基础解系,
至于特用(1/4)(a1+a2+2a3)还是用 (3a1+a2)/4,都可以.