设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定.

题目

设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定.
首先这个命题对么?
百度上有一个证法，不对

答案

结论是对的.
先给你两个引理：
1.同阶方阵X和Y至少有一个非奇异时,XY相似于YX.
2.X是实对称正定矩阵,那么必存在非奇异矩阵Y使得X=YY^T.
然后就好办了,这里用>0表示正定：
若A=CC^T,Y=DD^T,则
A-B>0
<=> CC^T-DD^T>0
<=> D^{-1}CC^TD^{-T}-I>0
<=> C^TD^{-T}D^{-1}C-I>0
<=> D^{-T}D^{-1}-C^{-T}C^{-1}>0
<=> B^{-1}-A^{-1}>0