直线x+y=4与圆x^2+y^2=4交于A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,是否有实数a ,使向量OA*向量OB=12

题目

直线x+y=4与圆x^2+y^2=4交于A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,是否有实数a ,使向量OA*向量OB=12
为什么不能用向量OA的模=根号下(x1的平方+y1的平方)得到2
同样OB的模也是2
然后向量OA*向量OB=OA的模*OB的模*cosa=12
因为OA OB的模都为2,所以必须cosk=3 (k为一个角)
有因为-1
不好意思,打错了,是x+y=a
我知道怎么算,我是问为什么这样不可以......

答案

将直线方程y=a-x代入园的方程x^2+y^2=4,得
x^2+(a-x)^2-4=0,即
2x^2-2ax+a^2-4=0
故XA+XB=a
XA*XB=(a^2-4)/2
YA*YB=(a-XA)*(a-XB)=a^2-(XA+XB)a+XA*XB
=a^2-a^2+(a^2-4)/2=(a^2-4)/2.
向量OA•向量OB=XA*XB+YA*YB=(a^2-4)/2+(a^2-4)/2=a^2-4
又向量OA*向量OB=12
所以a^2-4=12
得a=±4