已知直角坐标系中三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），且AC•BC＝−1，求sin2α的值．

题目

已知直角坐标系中三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），且

AC

•

BC

＝−1，求sin2α的值．

答案

∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），∴AC=（ cosα-3，sinα），BC=（cosα，sinα-3），∴AC•BC=（ cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=（ cosα-3）cosα+sinα（ sinα-3）=-1...

根据题意和坐标运算求出

AC

和

BC

的坐标，再由数量积的坐标运算，代入

AC

•

BC

=-1列出方程，利用平方关系求出sinα+cosα的值，两边平方后由二倍角的正弦公式求出．

本题考点：同角三角函数间的基本关系；平面向量数量积的运算；二倍角的正弦．

考点点评：本题是有关向量和三角函数的综合题，也是高考的常考题型，利用向量的坐标运算列出方程，再利用三角变换的公式进行化简求值．