请问f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是多少?

题目

请问f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是多少?

答案

f(x)=tanx,
所以f '(x)=1/cos²x,
f "(x)= 2cosx*sinx / (cosx)^4 = 2sinx /(cosx)^3
f "'(x)= [2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6
于是当x=0时,
f(0)=0,f '(0)=1,f "(0)=0,f "'(0)=2
故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是,
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3 +o(x^n)
=0+ x + 0 + 2/3!·x^3 +o(x^n)
= x + x^3 /3 + o(x^n) 其中o(x^n)为公式的皮亚诺(Peano)余项