过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是 _ .
题目
过直线x+y-2
=0上点P作圆x
2+y
2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是 ___ .
答案
根据题意画出相应的图形,如图所示:直线PA和PB为过点P的两条切线,且∠APB=60°,设P的坐标为(a,b),连接OP,OA,OB,∴OA⊥AP,OB⊥BP,PO平分∠APB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=30°,又圆x2+y2=1,即...
根据题意画出相应的图形,设P的坐标为(a,b),由PA与PB为圆的两条切线,根据切线的性质得到OA与AP垂直,OB与BP垂直,再由切线长定理得到PO为角平分线,根据两切线的夹角为60°,求出∠APO和∠BPO都为30°,在直角三角形APO中,由半径AO的长,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长,由P和O的坐标,利用两点间的距离公式列出关于a与b的方程,记作①,再由P在直线x+y-2
=0上,将P的坐标代入得到关于a与b的另一个方程,记作②,联立①②即可求出a与b的值,进而确定出P的坐标.
圆的切线方程;两直线的夹角与到角问题.
此题考查了圆的切线方程,涉及的知识有:切线的性质,切线长定理,含30°直角三角形的性质,以及两点间的距离公式,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是解本题的关键.
举一反三
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