已知x,y∈（o,+∞),且x+y>2,求证：1+y/x和1+x/y中至少有一个小于2

题目

已知x,y∈（o,+∞),且x+y>2,求证：1+y/x和1+x/y中至少有一个小于2

答案

假设(1+x)/y >= 2和(1+y)/x >= 2同时成立
因为x > 0且y > 0,所以上面两个不等式可化为
1 + x >= 2y 且 1 + y >= 2x
所以
(1+x) + (1+y) >= 2x + 2y
即 2 + x + y >= 2(x+y)
所以有x + y <= 2
这与已知的x + y > 2矛盾,
所以原假设不成立,即
(1+x)/y和(1+y)/x中至少有一个小于2.