已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x2,若存在正数a,b,使得当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[1b,1a],则a+b=( ) A.1 B.1+52 C.1+
题目
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x
2,若存在正数a,b,使得当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[
,],则a+b=( )
A. 1
B.
C.
1+D.
答案
设x>0,有-x<0,则f(-x)=-2x+x
2,
又由y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),
则x>0时,f(x)=2x-x
2,
对于a、b分三种情况讨论:
①、当a<1<b时,f(x)=2x-x
2的最大值为1;得
=1,即a=1,不合题意,舍去,
②、当a<b<1时,f(a)<1,f(b)<1且在[a,b]上单调增,而
>1,不合题意,舍去,
③、当1≤a<b时,f(x)在[a,b]上单调减,可得
,解可得a=1,b=
,符合题意,
则a+b=
;
故选D.
根据题意,先由奇函数的性质,分析可得x>0时,f(x)=2x-x2,对于正实数a、b,分三种情况讨论:①、当a<1<b时,②、当a<b<1时,③、当1≤a<b时,结合二次函数的性质,分析可得a、b的值,将其相加可得答案.
奇偶性与单调性的综合.
本题考查函数奇偶性与单调性的综合,涉及二次函数的性质,注意先由奇函数的性质,求出x>0时,f(x)的解析式.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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