微分方程相关 计算过程不用谢,至少把微分方程列出来.

题目

微分方程相关 计算过程不用谢,至少把微分方程列出来.
设有联接点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA,对于曲线弧OA上任一点P（x,y）,曲线弧OP与直线OP所围图形的面积为X^2,求曲线弧OA的方程.

答案

y=-4xlnx+x,
根据题意知道x=1,y=1,
设曲线弧OA的方程为y=f（x）,
∫（0,x）ydx-xy/2=x^2
对上式求导,y-y/2-x/2dy/dx=2x,
设y/x=u,则du=-4dx/x,积分的u=c-4lnx,
有已知x=1,y=1,知道u=1代入求出c=1,
又u=y/x代入得,
y=x（1-4lnx）