连续函数定值定理

题目

连续函数定值定理
设F（X）在闭区间【1,3】上连续
（1）如果F(1）+F（2）+F(3)=3,试证明至少存在一点A在【1,3】上,使F（A )=1

答案

F(1）+F（2）+F(3)=3
可以假设：
F(1)=1+a
F(2)=1+b
F(3)=1+c
a,b,c满足a+b+c=0
考察a,b,c:
若a=b=c=0,则：
F(1)=F(2)=F(3)=1
可取A=1,2,3中的任何一个.
a,b,c不全为0,则3个中必定有一个大于0,一个小于0
不妨假设a>0,b<0
于是F(1)>1,F(2)<1
由于F（X）在闭区间[1,3]上连续,因此在[1,2]上存在一点A使得F(A)=1,当然A也属于[1,3].