过双曲线x^2-y^2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线 交双曲线于P Q两点 则绝对值FP乘以绝对值FQ的装值为?

题目

过双曲线x^2-y^2=4的右焦点F作倾斜角为105°的直线 交双曲线于P Q两点 则绝对值FP乘以绝对值FQ的装值为?

答案

tan105= tan(45+60)=-2-√3
c^2=4+4=8,F(2√2,0)
y=(-2-√3)(x-2√2)
代入
x^2-(7+4√3)(x^2-4√2x+8)=4
(-6-4√3)x^1+(28√2+16√6)-60-32√3=0
x1+x2=(28√2+16√6)/(6+4√3)
x1x2=60+32√3/(6+4√3)
右准线是x=a^2/c=√2
e=c/a=√2/2
由双曲线第二定义
PF/P到右准线=e=√2/2
而P到准线=x1-√2
PF=√2/2*(x1-√2)
同理,QF=√2/2*(x2-√2)
所以PF*QF=2[x1x2-√2(x1+x2)+2]