高数题：①证明,如果函数f(x )当x →X0时极限存在,则f (x )在X0处的某一领域内有界

题目

高数题：①证明,如果函数f(x )当x →X0时极限存在,则f (x )在X0处的某一领域内有界

答案

函数f(x )当x →X0时极限存在,不妨设：limf(x)=a(x →X0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|证毕
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