求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

题目

求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

答案

设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，
则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，
矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，
则

x+y=k(a+b) xy=kab

∴x，y是方程t²-k（a+b）t+kab=0的两实根．
当△=[k（a+b）]²-4kab≥0，即k≥

4ab

(a+b)2

时，方程有解．
所以，对于长与宽分别为a，b的矩形，当k≥

4ab

(a+b)2

时，存在周长与面积都是已知矩形的k倍的矩形．
∵（a-b）²≥0，
∴a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab，
即（a+b）²≥4ab，

4ab

(a+b)2

≤1，
∴

4ab

(a+b)2

的最大值为1．
∴当k≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形，
即对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k（k≥1）．

设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，则矩形A的周长是2（a+b），面积为ab，矩形B的周长为2（x+y），面积为xy，得出方程组，转化成方程后求出△的值，即可得出答案．

本题考点：根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b²-4ac＜0时，方程无实数根，题目比较好，难度偏大．