求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
题目
求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2.
答案
证明:(1)充分性:∵m≥2,∴△=m
2-4≥0,
方程x
2+mx+1=0有实根,
设x
2+mx+1=0的两根为x
1,x
2,
由韦达定理知:x
1x
2=1>0,∴x
1、x
2同号,
又∵x
1+x
2=-m≤-2,
∴x
1,x
2同为负根.
(2)必要性:∵x
2+mx+1=0的两个实根x
1,x
2均为负,且x
1•x
2=1,
∴m-2=-(x
1+x
2)-2=-
(x1+)-2
=-
=-
≥0.
∴m≥2.综上(1),(2)知命题得证.
举一反三
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