设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x2y]dy=0为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解．

题目

设f（x）具有二阶连续函数，f（0）=0，f′（0）=1，且[xy（x+y）-f（x）y]dx+[f′（x）+x²y]dy=0为一全微分方程，求f（x）及此全微分方程的通解．

答案

因为 Pdx+Q dy=0 是全微分方程的一个必要条件是：∂P∂y=∂Q∂x，所以x2+2xy-f（x）=f″（x）+2xy，即：f″（x）+f（x）=x2． （1）因为齐次微分方程 f″（x）-f（x）=0 的特征方程为 λ2+1=0，特征根为 λ1，2=±i...