已知圆O:X2+Y2=1和定点A(2,1),由圆外一点P向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|

题目

已知圆O:X2+Y2=1和定点A(2,1),由圆外一点P向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|
（1）求P点的轨迹方程
（2）求线段PQ长的最小值,并求此时PQ的斜率

答案

设P(x,y)
（1）连接OP,
∵Q为切点,
∴PQ⊥OQ,
∵PQ²=OP²-OQ²
PQ=PA
∴PQ²=PA²
∴(x²+y²)-1²=(x-2)²+(y-1)²
化简得
2x+y-3=0
P轨迹方程是2x+y-3=0,一条直线
(2)
y=-2x+3
∴PQ=√(x²+y²-1)=√[5(x-6/5)²+4/5]
∴x=6/5时,PQ长最小
∴此时P(6/5,3/5)
设PQ：y=k(x-6/5)+3/5
PQ方程：kx-y+3/5-6k/5=0
圆心到切线PQ距离=半径=1
∴|0-0+3/5-6k/5|/√(1+k²)=1
∴k=18±10√5