当a-1≤x≤a时,求函数y=-x的平方-2x+3的最大值

题目

当a-1≤x≤a时,求函数y=-x的平方-2x+3的最大值

答案

y＝－x²－2x＋3＝－（x＋1）²＋4
是一条抛物线,开口向下,对称轴为－1,在x∈R上,y的最大值为4；
a-1≤x≤a,代表定义域为x轴方向上滑动的一个长度为1的窗口；
当-1≤a≤0时,-1∈[a-1,a],因此,y能在x=-1处取得最大值：max(y)＝4；
当a＜-1时,y单调递增,因此,y能在x=a处取得最大值：max(y)＝－a²－2a＋3；
当a＞0时,y单调递减,因此,y能在x=a-1处取得最大值：max(y)＝4－a²；
综上：
在 a-1≤x≤a 上,
若a＜-1,max（－x²－2x＋3）＝－a²－2a＋3；
若-1≤a≤0,max（－x²－2x＋3）＝4；
若a＞0,max（－x²－2x＋3）＝4－a²；