如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE． （1）求证：DE=DF； （2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．

题目

如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．

（1）求证：DE=DF；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．

答案

（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∵

BD＝CD BF＝CE

，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴DE=DF；
（2）答：四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．

（1）利用“HL”证明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；
（2）由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．

本题考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．