在正等比数列an中,a1=1,an+1=2an+2^n,设bn=an/2^n-1证明bn是等差数列2求数列an的前n项和

题目

在正等比数列an中,a1=1,an+1=2an+2^n,设bn=an/2^n-1证明bn是等差数列2求数列an的前n项和

答案

已知：在数列an中,a1=1,an+1=2an+2^n,设bn=an/2^n-1
证明：bn是等差数列；求数列an的前n项和Sn
a(n+1)=2an+2^n,.(1)
bn=an/2^(n-1),.(2)
b(n+1)=a(n+1)/2^n.(3),
b1=a1/2^0=1
由（1）两边同除以2^n得：
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1.(4),
用（2）、（3）代入(4) 可得出：b(n+1)=bn+1,
故 bn为首项为1公差为1的等比数列,bn=n
an=n*2^(n-1)、a1=1、s1=1
Sn-S(n-1)=n*2^n
Sn/2^n-S(n-1)/2^n=n
Sn/2^n-1/2*S(n-1)/2^(n-1)=n
Sn/2^n=1/2(S(n-1)/2^(n-1)))+n
Sn/2^n-2n=1/2*((S(n-1)/2^(n-1)))-2n)
令Sn/2^n-2n=cn,
c1=1/2-2=-3/2,
cn=1/2c(n-1),
cn=(1/2)^(n-1)
c1=-3/2(1/2)^(n-1)=-3(1/2)^n=-3*n^(-n)
Sn/2^n-2n=-3*2^(-n)
Sn/2^n=-3*2^(-n)+2n
Sn=-3+2n*2^n
Sn=n*2^(n+1)-3