设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= _ .

设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= _ .

题目
设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= ___ .
答案
∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),故两圆圆心在第一象限的角平分线上,
设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=
(a-4)2-(a-1)2

∴a=5+2
2
,或 a=5-2
2
,故圆心为(5+2
2
,5+2
2
 ) 和 (5-2
2
,5-2
2
 ),
故两圆心的距离|C1C2|=
2
[(5+2
2
)-(5-2
2
)]=8,
故答案为:8
由题意易得圆在第一象限内,设圆心的坐标为(a,a),则有|a|=
(a−4)2−(a−1)2
,解方程求得a值,代入两点间的距离公式可求得两圆心的距离|C1C2|的值.

圆与圆的位置关系及其判定.

本题考查直线和圆的位置关系,其中根据已知分析出圆心在第一象限的角平分线上,进而设出圆心坐标是解答的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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