已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E． （1）求证：AE=BE； （2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

题目

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．

（1）求证：AE=BE；
（2）若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．

答案

（1）证明：∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED，
在△ACE和△BDE中，

∠AEC＝∠BED ∠C＝∠D＝90° AC＝BD

∴△ACE≌△BDE（AAS），（3分）
∴AE=BE；（4分）
（2）∵∠AEC=45°，∠C=90°，
∴∠CAE=45°，（5分）
∴CE=AC=1．（7分）

（1）先证明Rt△ACE≌Rt△BDE，再利用全等三角形的性质可得AE=BE；
（2）再利用等腰直角三角形的性质可以知道CE=AE=1．

本题考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题利用了三角形全等的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质．