解伯努利方程,dy/dx+y=y^2(cosx-sinx)

题目

解伯努利方程,dy/dx+y=y^2(cosx-sinx)

答案

即y'+y=y²(cosx-sinx)
令u=1/y
则y=1/u,u'=-y'/y²,y'=-u'y²=-u'/u²
代入原方程,变为
-u'/u²+1/u=(1/u²)(cosx-sinx)
整理得
u'-u=sinx-cosx
对于此方程,可解得其通解为
u=C(e^x)-sinx,C为任意常数
所以,原方程的解为
y=1/[C(e^x)-sinx]