设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=k*e^-(x+2y) ,x>0 ,y>0 0 ,其他

题目

设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)=k*e^-(x+2y) ,x>0 ,y>0 0 ,其他
求k .重点讲讲这个怎么积分吧?
再说遍题目：设随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)=k*e^-(x+2y) x>0 y>0
0 其他

答案

随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),
那么在整个xy平面上对概率密度f(x,y)的二重积分的值
∫∫ f(x,y)dxdy=1
在这里
f(x,y)=k*e^-(x+2y) ,x>0 ,y>0
所以
∫∫ k*e^-(x+2y) dxdy=1
即
k* ∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy =1
很显然
∫ e^(-x)dx = -e^(-x),代入上限∞,下限0,
显然x趋于∞时,-e^(-x)趋于0,
而x=0时,-e^(-x)= -1
即∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx = 0 - (-1)=1,
而同理
∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy
=0.5 * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)d(2y)
=0.5
所以
k* ∫ (上限∞,下限0) e^(-x)dx * ∫ (上限∞,下限0) e^(-2y)dy
=0.5k =1
故解得k=2