已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

题目

已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

答案

证明：过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H．
设AG=1，那么CG=1，DH=

1

2

，BH=

3

2

，
tan∠DBH=

1

3

，
又∠GAF=∠DBH，
∴GF=

1

3

AG=

1

3

，
FH=GH-GF=

1

2

-

1

3

=

1

6

，
tan∠FDH=

FH

DH

=

1

3

∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF=∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF．