在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为边向外作半圆,求证:以斜边为直径的半圆面积等于其余两个半圆的面积

题目

在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB,AC,BC为边向外作半圆,求证:以斜边为直径的半圆面积等于其余两个半圆的面积

答案

证明：设BC=a,AC=b,AB=c
所求证的结论是
1/2∏（c/2）²=1/2∏（a/2）²+1/2∏（b/2）²
左式=1/8∏c²
右式=1/2∏（a²/4+b²/4）=1/8∏（a²+b²）
直角三角形中
c²=a²+b²
所以结论得证