已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的积的最大值是（　　） A.2 B.3 C.332 D.32

题目

已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4.P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的积的最大值是（　　）
A. 2
B. 3
C.

3 3

2

D. 3

2

答案

如图：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x．因为三角形是直角三角形，显然△AMP∽△ACB，所以AMAC＝PMBC可得：AM4＝x3，所以AM=4x3，MC=4-4x3．所以PN=4-4x3．PM•PN=x（4-4x3）=43x（3-x）=43（-x2+3x）=-43（x-32）2+...

由题意画出三角形ABC，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．设PM=x，通过三角形相似，求出PM，PN，即可推出点P到AC，BC的距离的积的表达式，利用二次函数求出乘积的最大值．

本题考点：解三角形．

考点点评：正确利用辅助线，三角形的相似得到乘积的表达式，利用二次函数的最值是解题的关键，本题也可以利用解析几何的解析法解答．