已知:如图,在三角形ABC中,角C=90°,点D,P分别在边AC,AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD.当角A=30°,

题目

已知:如图,在三角形ABC中,角C=90°,点D,P分别在边AC,AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD.当角A=30°,
求证PE+PF=BC
（1）当∠A=30°时,求证：PE+PF=BC
（2）当∠A≠30°时（∠A

答案

(1)可利用在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半
∠A=30° PF⊥AD 可证得PF=AD/2
AD=BD 可知∠PBE=30° PE⊥BD 可证得PE=BP/2
所以PE+PF=AD/2+BP/2=AB/2=BC
(2)当∠A≠30°时结论依然成立,过点P作PG⊥BC交BC于点G 可知PE=CG
由AD=BD可知∠A=∠PBD
由PG⊥BC 和AC⊥BC 可知AC∥PG 所以∠A=∠BPG
所以∠PBD =∠BPG
所以△BPF≌△PBG
所以PF=BG
所以PE+PF=CG+BG=BC