已知点P（cos2x+1，1），点Q（1，3sin2x+1）（x∈R），且函数f（x）=OP•OQ（O为坐标原点）， （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的最小正周期及最值．

题目

已知点P（cos2x+1，1），点Q（1，

3

sin2x+1）（x∈R），且函数f（x）=

OP

•

OQ

（O为坐标原点），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期及最值．

答案

（1）因为点P（cos2x+1，1），点Q(1，

3

sin2x+1)，
所以，f(x)＝cos2x+1+

3

sin2x+1＝cos2x+

3

sin2x+2
=2sin(2x+

π

6

)+2．
（2）由f(x)＝2sin(2x+

π

6

)+2，所以T=π，
又因为x∈R，所以f（x）的最小值为-2+2=0，f（x）的最大值为2+2=4．

（1）题目中点的坐标就是对应向量的坐标，代入向量的数量积公式即可求解f（x）的解析式；
（2）把函数f（x）的解析式化积，运用公式求周期，因为定义域为R，最值即可求得．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．

考点点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，解答的关键是：①两向量数量积的坐标表示．②asinθ+bcosθ的化积问题．属常见题型．