若A是正定埃尔米特矩阵,证明若A是酉矩阵,则A=I

题目

若A是正定埃尔米特矩阵,证明若A是酉矩阵,则A=I

答案

A是埃尔米特矩阵说明A^H=A
A是酉矩阵说明(A^H)A=I
结合上两式有A²=I,或(A+I)(A-I)=0
A是正定的说明A的特征值全是正实数,即-1不是A的特征值,
∴|-I-A|≠0,或|I+A|≠0,即(A+I)可逆
于是A-I=(A+I)^(-1)0=0,即A=I